已知A为直线x+y-11=0上的动点.MN为圆(x-1)2+y2=1的一条直径.则$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$的最小值为49．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

2．已知A为直线x+y-11=0上的动点，MN为圆（x-1）²+y²=1的一条直径，则$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$的最小值为49．

分析由题意可设圆的直径的两个端点为M（1+cosθ，sinθ），N（1-cosθ，-sinθ），A（x，y），求出$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$，利用配方法求出最小值．

解答解：由题意可设圆的直径的两个端点为M（1+cosθ，sinθ），N（1-cosθ，-sinθ），A（x，y），则
$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$=（1+cosθ-x，sinθ-y）•（1-cosθ-x，-sinθ-y）=（1-x）²-cos²θ+y²-sin²θ=（1-x）²+y²-1=（y-10）²+y²-1=2（y-5）²+49，
∴y=5时，$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$的最小值为49，
故答案为：49．

点评本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确设出圆的直径的两个端点坐标是关键．

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