题目内容
6．已知圆C：x2+y2-x-y=0经过椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点D．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P（-2，0）作斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，直线AF，BF分别交椭圆E于点G，H，设$\overrightarrow{AF}$=λ1$\overrightarrow{FG}$，$\overrightarrow{BF}$=λ2$\overrightarrow{FH}$．（λ1，λ2∈R）
（i）求λ1+λ2的取值范围；
（ii）是否存在直线l，使得|AF|•|GF|=|BF|•|HF|成立？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由．
分析 （Ⅰ）在圆C：x2+y2-x-y=0中，令y=0，得F（1，0），求得c，解出椭圆方程．
（Ⅱ）（i）设直线的斜率为k，A（x1，y1）B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），根据条件列出关于y的一元二次方程，再设设直线l的方程为y=k（x+2），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得式求解即可．
（ii）|AF|=λ1|FG|，|BF|=λ2|FH|即|FG|=$\frac{|AF|}{{λ}_{1}}，|FH|=\frac{|BF|}{{λ}_{2}}$，代入|AF||GF|=|BF||HF|得|AF|2，|BF|2化简整理即可．
解答 解：（Ⅰ）在圆C：x2+y2-x-y=0中，令y=0，得F（1，0），即c=1
令x=0，得D（0，1），即b=1
所以a2=b2+c2=2
即椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（Ⅱ）（i）设直线的斜率为k，A（x1，y1）B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）
∵F（1，0），∴$\overrightarrow{AF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{FG}=（{x}_{3}-1，{y}_{3}）$
由$\overrightarrow{AF}={λ}_{1}\overrightarrow{FG}$，得-y1=λ1y3，即${λ}_{1}=-\frac{{y}_{1}}{{y}_{3}}$
当AG与x轴不垂直时，直线AG的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}（x-1）$
即x=$\frac{（{x}_{1}-1）y+{y}_{1}}{{y}_{1}}$，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：$（3-{2x}_{1}）{y}^{2}+2{y}_{1}（{x}_{1}-1）y-{y}_{1}^{2}=0$
则有${y}_{1}{y}_{3}=\frac{-{y}_{1}^{2}}{3-2{x}_{1}}$
即$-\frac{{y}_{1}}{{y}_{3}}=3-2{x}_{1}$，∴λ1=3-2x1
当AG与x轴垂直时，A点的横坐标为1，λ1=1，λ1=3-2x1也成立
同理，可得，λ2=3-2x2
设直线l的方程为y=k（x+2），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得
（2k2+1）2+8k2x+8k2-2=0
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（8{k}^{2}）^{2}-4（2{k}^{2}+1）（8{k}^{2}-2）＞0}\end{array}\right.$
解得$0＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$
又${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$
∴λ1+λ2=3-2x1+3-2x2=6-2（x1+x2）=$6+\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=14-$\frac{8}{2{k}^{2}+1}$
由$0＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$得，6$＜14-\frac{8}{2{k}^{2}+1}＜10$，即6＜λ1+λ2＜10
即λ1+λ2的取值范围是（6，10）
（ii）∵|AF|=λ1|FG|，|BF|=λ2|FH|
即|FG|=$\frac{|AF|}{{λ}_{1}}，|FH|=\frac{|BF|}{{λ}_{2}}$
代入|AF||GF|=|BF||HF|得
${λ}_{2}|AF{|}^{2}={λ}_{1}|BF{|}^{2}（*）$
又|AF|2=（1-x1）2+y12=$（1-{x}_{1}）^{2}+1-\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$=2-2${x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}$
同理|BF|2=2-2x2+$\frac{1}{2}{x}_{2}^{2}$
又∵λ1=3-2x1，λ2=3-2x2，代入（*）得
（3-2x2）（2-2x1+$\frac{1}{2}$${x}_{1}^{2}$）=（3-2x1）（2-2x2+$\frac{1}{2}{x}_{2}^{2}$）
化简得${x}_{1}-{x}_{2}=\frac{3}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}$（x1-x2）
即$\frac{3}{4}×（-\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）-\frac{1}{2}×\frac{8{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}=1$
解得k=0，与题设矛盾，
故不存在直线l，使得|AF|•|GF|=|BF|•|HF|成立．
点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用，难度较大，思路复杂，需要有雄厚的基础．
名校课堂系列答案| A． | 一 | B． | 二 | C． | 三 | D． | 四 |
如图，CE为圆O的直径，PE为圆O的切线，E为切点，PBA为圆O的割线，交CE于D点，CD=2，AD=3，BD=4，则圆O的半径为r=4；PB=20．