Question

19．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．
则下列命题中，正确的为①②④ （把你认为正确的命题的序号都填上）
①f（2）=0；②直线x=-4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-6，-4]上为增函数；④函数y=f（x）在[-6，6]上有四个零点．

Answer 1

分析 由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，我们易得函数在区间[0，2]单调递增，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．

解答 解：①：对于任意x∈R，都有f （x+4）=f （x）+f （2）成立，
令x=-2，则f（-2+4）=f（-2）+f （2），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（2）=0．
②：由（1）知f （x+4）=f （x），所以f（x）的周期为4，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+4）=f（-x），
而f（x）的周期为4，所以f（x+4）=f（-4+x），f（-x）=f（-x-4），
所以：f（-4-x）=f（-4+x），所以直线x=-4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．
③：当x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
所以函数y=f（x）在[0，2]上为增函数，
因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-2，0]上为减函数
而f（x）的周期为4，所以函数y=f（x）在[-6，-4]上为减函数．
④：f（2）=0，f（x）的周期为4，
所以：f（-6）=f（-2）=f（2）=f（6）=0
函数y=f（x）在[-6，6]上有四个零点．
故答案为：①②④．

点评 本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，分析题目中相关结论的正误．属于基础题．