Question

已知：函数f（x）满足f（1）=1，f（2）=4
（1）符合上述条件的函数f（x）有多少个？
（2）写出三个符合上述条件的函数；
（3）是否存在满足上述条件的形式为y=4x-

ax+b

的函数？如果存在，求出这样的函数，并求出该函数的值域；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）函数f（x）上只知道两点，故函数不能确定，符合上述条件的函数f（x）有无数个；
（2）若f（x）为一次函数，可由两点式直接写出直线方程即f（x）=3x-2，
若f（x）为二次方程，设f（x）=ax²+bx+c，由条件

f(1)=a+b+c=1 f(2)=4a+2b+c=4

，
得3a+b=3，a、b取一些特值即可．如：f（x）=x²，f（x）=2x²-3x+2等．
（3）假设存在，则

4- a+b =1 8- 2a+b =4

，解得

a=7 b=2

，故y=4x-

7x+2

令

7x+2

=t(t≥0)，则x=

t2-2

7

，则原函数变为y=

4

7

t2-t-

8

7

(t≥0)
当t=

7

8

时，函数有最小值-

163

112

所以函数的值域为[-

163

112

，+∞）