Question

10．已知正四面体ABCD的棱长为1，求：
（1）该四面体的内切球的表面积；
（2）与该四面体各条棱均相切的球的体积；
（3）该四面体的外接球上AB两点间的球面距离．

Answer 1

分析 （1）作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，运用勾股定理计算，即可得到球的体积．
（2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球O是正方体的内切球，从而可求球O的表面积．
（3）由题意求出外接球的半径，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B两点间的球面距离．

解答 解：（1）如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为1，
所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，
在等边三角形BCD中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AE=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$-R）²+$\frac{1}{3}$
解得，R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
则其内切球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
所以四面体的内切球的表面积为$4π•\frac{6}{144}$=$\frac{π}{6}$；
（2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线
∵正四面体ABCD的棱长为1
∴正方体的棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，
∴球O是正方体的内切球，其直径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴球O的体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$π；
（3）由（1），正四面体的外接球的半径为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
设球心为O．
∴cos∠AOB=$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}-{1}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{4}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴∠AOB=π-arccos$\frac{1}{3}$，
∴外接球球面上A、B两点间的球面距离为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$（π-arccos$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查正四面体的内切球半径的求法，考查正四面体的外接球的球面距离的求法，解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的内切球．