Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1，给出以下结论： ①f（x）的解析式为f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于0．
其中正确的结论有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；

又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，

则有 ，解得a=0，b=﹣4．

所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x，因此①正确；②令f′（x）=0，得x=± ．因此②不正确；

所以f（x）在[﹣ ， ]内递减，

且f（x）的极大值为f（﹣ ）= ，极小值为f（ ）=﹣ ，两端点处f（﹣2）=f（2）=0，

所以f（x）的最大值为M= ，最小值为m=﹣ ，则M+m=0，因此③正确．

所以正确的结论为①③，

故选C．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．