Question

20．设f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}$+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{5}$，+∞）
• B． （-∞，-3]
• C． （-∞，-3]∪[-$\sqrt{5}$，+∞）
• D． [-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 求函数的导数，条件等价为f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=x²+2ax+5，
①若函数在区间[1，3]上为单调增函数，则等价为f′（x）≥0恒成立，
即x²+2ax+5≥0，
即2ax≥-x²-5，
则2a≥$\frac{-{x}^{2}-5x}{x}$=-（x+$\frac{5}{x}$），
∵x+$\frac{5}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{5}{x}}=2\sqrt{5}$，当且仅当x=$\frac{5}{x}$，即x=$\sqrt{5}$∈[1，3]取等号，
∴-（x+$\frac{5}{x}$）_max=-2$\sqrt{5}$，
即2a≥-2$\sqrt{5}$，解得a≥-$\sqrt{5}$；
②若函数在区间[1，3]上为单调减函数，则等价为f′（x）≤0恒成立，
即x²+2ax+5≤0，
即2ax≤-x²-5，
则2a≤$\frac{-{x}^{2}-5x}{x}$=-（x+$\frac{5}{x}$），
∵x+$\frac{5}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{5}{x}}=2\sqrt{5}$，当且仅当x=$\frac{5}{x}$，即x=$\sqrt{5}$∈[1，3]取等号，
∴-（x+$\frac{5}{x}$）_max=-2$\sqrt{5}$，
当x=1时，-（x+$\frac{5}{x}$）=-6，
当x=3时，-（x+$\frac{5}{x}$）=-（3+$\frac{5}{3}$）=-$\frac{14}{3}$＞-6，
∴-（x+$\frac{5}{x}$）_min=-6，
即2a≤-6，解得a≤-3；
综上a∈（-∞，-3]∪[-$\sqrt{5}$，+∞），
故选：C

点评 本题主要考查函数单调的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．求解最值的过程中使用了基本不等式，注意本题要进行分类讨论．