Question

6．在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）与定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率乘积k_PA•k_PB=-$\frac{1}{4}$．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设直线l不与坐标轴垂直，且与轨迹E交于不同两点M，N，若OM⊥ON，求证：l与以O为圆心的定圆相切．

Answer 1

分析 （1）利用动点P（x，y）与定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率乘积k_PA•k_PB=-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，则椭圆C的方程可求；
（2）设出交点坐标，联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系得到两交点横纵坐标的积，代入OM⊥ON得到r=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即圆的半径，则定圆方程可求．

解答 解：（1）因为动点P（x，y）与定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率乘积k_PA•k_PB=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线y=kx+b代入椭圆方程得：（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．
x₁+x₂=-$\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{b}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0
整理得，b²=$\frac{4}{5}$（k²+1）．
而原点到直线AB的距离d即圆的半径r=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由此得出直线与原点为圆心的圆相切，半径为定长：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴l与以O为圆心的定圆相切．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和椭圆的位置关系，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用一元二次方程根与系数关系解题，是压轴题．