题目内容
【题目】某设计部门承接一产品包装盒的设计(如图所示),客户除了要求、
边的长分别为
和
外,还特别要求包装盒必需满足:①平面
平面
;②平面
与平面
所成的二面角不小于
;③包装盒的体积尽可能大.
若设计部门设计出的样品满足:与
均为直角且
长
,矩形
的一边长为
,请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求?说明理由.
【答案】满足,理由见解析.
【解析】
假设满足,只需证明满足①、②、③即可.
假设该包装盒的样品设计符合客户的要求.
(1)以下证明满足条件①的要求.
∵四边形为矩形,
与
均为直角,
∴且
∴
面
,
在矩形中,
∥
∴面
∴面
面
(2)以下证明满足条件②、③的要求.
∵矩形的一边长为
,
而直角三角形的斜边
长为
,∴
设,则
,
以为原点,
分别为
轴的正半轴建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
设面的一个法向量为
,
,
∵
∴,取
,则
而平面的一个法向量为
,
设面与面
所成的二面角为
,则
,
∴, ∴
,
即当时,面
与面
所成的二面角不小于
又, 由与
均为直角知,
面
,该包装盒可视为四棱锥
,
当且仅当,即
时,
的体积最大,最大值为
而,可以满足面
与面
所成的二面角不小于
的要求,
综上,该包装盒的设计符合客户的要求.
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