题目内容
【题目】设函数.
(1)若函数是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)设,
是
的导函数.
①若对任意的,求证:存在
使
;
②若,求证:
.
【答案】(1) ;(2)①.证明见解析;②.证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意, 对
恒成立,根据
,等价为
对
恒成立,即可求得
得取值范围;(2)①分别求得
与
,若
,则存在
,使
,从而得
,取
,则
,即可证明
;②不妨设
,令
,则
,由(1)知函数
单调递增,则
,从而
,根据
,推出
,只需证明
成立,即只需证明
成立,设
,求得函数
的单调性,即可证明.
试题解析:(1)由题意, 对
恒成立.
∵
∴对
恒成立,
∵
∴,从而
.
(2)①,则
.
若,则存在
,使
,不合题意.
∴.
取,则
.
此时.
∴存在,使
.
②依题意,不妨设,令
,则
.
由(1)知函数单调递增,则
,从而
.
∵
∴
∴.
∴.
下面证明,即证明
,只要证明
.
设,则
在
恒成立.
∴在
单调递减,故
,从而
得证.
∴,即
.
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练习册系列答案
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(Ⅱ)现准备从分数在110~115分的n名学生(女生占)中任选2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议,对他前7次考试的数学成绩x(满分150分),物理成绩y进行分析,下面是该生7次考试的成绩。
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的数学成绩达到130分,请你估计他的物理成绩大约是多少?
附:对于一组数据其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.