题目内容
【题目】已知等腰梯形,
.现将
沿着
折起,使得面
面
,点F为线段BC上一动点.
(1)证明:;
(2)如果F为BC中点,证明:面
;
(3)若二面角的余弦值为
,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)先通过面面
得到
面
,进而可得
;
(2)取中点
,连接
,通过证明四边形
为平行四边形,得到
,进而可得
面
;
(3)以为
轴,以
为
轴,以
为
轴建立空间直角坐标系,设
求出面
的法向量和面
的法向量,通过二面角
的余弦值为
列方程求出
,即
的值.
(1)证明:在等腰梯形中, 所以
,
因为面面
,面
面
,
面
,
所以面
,
所以 ;
(2)取中点
,连接
,
在三角形中,
而
,所以
,
即四边形为平行四边形,
,
因为面
面
所以
面
;
(3)由面
,
则以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
设则
,
设面的法向量
,
,即
,
因为平面
,所以
是面
的法向量,
若二面角的余弦值为
,
则,
解得或者
,由题意
,
即.
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