Question

【题目】函数（为常数）的图象与x轴有唯一公共点M

（1）求函数的单调区间.

（2）若，存在不相等的实数，满足，证明：.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)函数f（x）的定义域为R，结合函数的解析式可得，据此分类讨论函数的单调性即可；

（2）时，，由结合函数的解析式和基本不等式证明题中的结论即可.

(1)函数f（x）的定义域为R，且f（0）=0，

由题意可知，曲线f（x）与x轴存在公共点M（0，0），

又，

若a≤0，f’（x）>0，f（x）单调递增；

若a>0，由f’（x）=0得x=1+lna，

当时，f（x）<0，f（x）单调递减；

当时，f'（x）>0，f（x）单调递增.

①当1+lna=0，即时，f（x）的极小值为f（0）=0，

曲线f（x）与x轴只有一个公共点，符合题意；

②当1+lna>0，即时，由基本结论“x>0时，”，

知，

又f（1+lna）<f（0）=0.

由零点存在定理知，此时的函数f（x）在区间（1+lna，a+2）有一个零点，

则f（x）与x轴有两个公共点，与条件不符，舍去；

③当1+lna<0，即时，设，

则，

即.

又f（1+lna）<f（0）=0.

由零点存在定理知，此时函数f（x）在区间有一个零点，

则f（x）与x轴有两个公共点，与条件不符，舍去；

综上所述，时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.

当a≤0时，f（x）单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）时，，由得：

，

所以，

由基本不等式知即，

即，即，

而f（x）在单调递增，故，所以.