题目内容
【题目】如图所示,圆的直径
,
为圆周上一点,
,平面
垂直圆
所在平面,直线
与圆
所在平面所成角为
,
.
(1)证明:平面
.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)先证明平面
,得出
,又
,则
平面
;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量和平面
的法向量,通过计算法向量所成角的余弦值求出二面角
的余弦值.
(1)∵是圆
的直径,
为圆周上一点,
∴,又平面
平面
,平面
平面
,
∴平面
,∴
,
又,
,
平面
,
平面
,
∴平面
;
(2)过作
于
,则
平面
,
过作
交
于
,
∴为直线
与平面
所成的角,则
,
由题意可得,
,
∵,
,∴
,
∴,
,
∴,
,
,
以为原点,
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
从而,
,
设平面的法向量
,则
得
,
令,从而
,而平面
的法向量为
,
故,
由图可知,二面角的平面角为锐角,
∴二面角的余弦值为
.
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