题目内容
【题目】已知函数
，a，b
R.
（1）若a＝1，求关于x的不等式
的解集；
（2）若
，讨论函数
的零点个数.
【答案】（1）(0，
)；（2）具体见解析.
【解析】
（1）由已知表示函数
的解析式，求导分析单调性，再联系不等式的性质求解；
（2）求导分析此时函数单调性，表示出其极小值，讨论极小值大于零、等于零与小于零的不同情况时对应的函数零点个数.
（1）a＝1时，
，
，
当x＞﹣2时，
，所以在区间(﹣2，
)上单调递增，
由
得x＞0；
当x≤﹣2时，
，此时
，
综上可得，不等式的解集为(0,)；
（2）
时，
，
，令
得x＝﹣a﹣1，列表如下：
|
|
|
|
| - | 0 | + |
|
| 极小值 |
|
所以，当x＝﹣a﹣1时，函数的极小值为
；
①当
即
时，对任意x
R，都有
恒成立，从而函数无零点，
②当
即
时，对任意xR，都有
恒成立（当且仅当x＝0时，
），从而函数的零点个数为1，
③当
即
时，
在区间[﹣a﹣1,﹣a]上，函数图象是连续不断的一条曲线，其中
，函数在区间[﹣a﹣1，)上单调递增，所以函数在区间(﹣a﹣1,)上的零点个数为1；
在区间[4a,﹣a﹣1]上，函数图象是连续不断的一条曲线，其中,且
，
令
，
，
，所以在区间(
,﹣1]上单调递减，
由a＜﹣1得
，即
，所以
，
又因为函数在区间(,﹣a﹣1]上单调递减，所以函数在区间(,﹣a﹣1)上的零点个数为1；从而函数的零点个数为2.
综上可得，当时，函数无零点，当时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2.
【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).
|
|
|
|
|
|
|
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧水时间
关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型?(不必说明理由)
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
