Question

【题目】已知函数．

（1）若在处的切线方程为，求实数、的值；

（2）设函数，（其中为自然对数的底数）．

①当时，求的最大值；

②若是单调递减函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②.

【解析】

（1）由题意得出，可求出的值，计算出的值，再将点的坐标代入直线可求出实数的值；

（2）①将代入函数，求出其导数，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出，进而判断出函数在区间上的单调性，由此求出答案；

②由题意得出，对分、、三种情况讨论，结合在上恒成立，可求出实数的取值范围.

（1），，

由题意可得，解得，所以，，，

将点的坐标代入直线的方程得，解得.

因此，，；

（2）①当时，，则，

，

令，其中，则，

所以，函数在区间上单调递增，则，则有.

因此，函数在区间上的最大值为；

②由于函数在区间上单调递增，所以，

即，则.

（i）当时，，，

，

令，则，

即函数在区间上单调递减，所以，，解得；

（ii）当时，，，

由（i）知，，又因为函数在区间上是单调递减函数，

所以，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

即，.

令，.

，

构造函数，则，

所以，函数在区间上单调递减，故，即.

所以，，

即函数在区间上单调递减，

所以，，，

又，；

（iii)当时，因为，

，

所以，函数在区间上单调递增，

又，

则存在唯一的，使得，

所以，函数在区间上不单调.

综上所述，实数的取值范围是.