题目内容
【题目】如图,已知圆的方程为
,圆
的方程为
,若动圆
与圆
内切,与圆
外切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过直线上的点
作圆
的两条切线,设切点分别是
,
,若直线
与轨迹
交于
,
两点,求
的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(Ⅰ)设动圆的半径为
,由题动圆
与圆
内切,与圆
外切,则
,由此即可得到动圆圆心
的轨迹是以
为焦点,长轴长为
的椭圆,进而得到动圆圆心
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设直线上任意一点
的坐标是
,切点
坐标分别是
,
;则经过
点的切线斜方程是
,同理经过
点的切线方程是
,又两条切线
,
相交于
.可得经过
两点的直线
的方程是
,对
分类讨论分别求出
的值,即可得到
的最小值.
(Ⅰ)设动圆的半径为
,∵动圆
与圆
内切,与圆
外切,
∴,且
.于是,
,
所以动圆圆心的轨迹是以
为焦点,长轴长为
的椭圆.从而,
,
所以.故动圆圆心
的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)设直线上任意一点
的坐标是
,切点
坐标分别是
,
;则经过
点的切线斜率
,方程是
,
经过点的切线方程是
,又两条切线
,
相交于
.
则有,所以经过
两点的直线
的方程是
,
①当时,有
,
,
,
,则
;
②当时,联立
,整理得
;
设坐标分别为
,
,则
,
所以,
综上所述,当时,
有最小值
.
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