题目内容
【题目】已知函数
有且只有一个零点，其中
.
（1）求
的值；
（2）若对任意的
，有
成立，求实数
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件得
，列方程即可求出结果；
（2）由（1）知
，先分析，当
时，由
知不合题意；当
时，构造函数
，利用导数分
和
两种情况讨论，即可求出结果.
解：（1）
的定义域为
，
.
由
，得
.
∵当
时，
；当
时，
，
∴在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，
∴在
处取得最大值，由题意知
，解得；
（2）由（1）知，
当时，取
，
，知不合题意；
当时，设
，则
，
令
，得
，
，
①若
，即时，
在
上恒成立，
所以
在
上是增函数，
从而总有
，即
在上恒成立；
②若
，即时，对于
，
，
所以在
上单调递减，
于是，当取
时，
，即不成立，
故不合题意.
综上，
的最大值为.
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【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧水时间
关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型?(不必说明理由)
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
