Question

【题目】若函数为奇函数，且时有极小值．

（1）求实数的值；

（2）求实数的取值范围；

（3）若恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）由题意，得到在定义域上恒成立，列出方程，即可求解；

（2）由（1）可得，求得导数，分和，两种情况讨论，即可求解；

（3）由代入，构造新函数，求得函数的单调性与最值，得到，即可求解实数的取值范围．

（1）由题意，函数为奇函数，

可得在定义域上恒成立，即，

化简整理得，所以.

（2）由（1）可得，则，

当时，又由恒成立，即恒成立，所以不存在极小值；

当时，令，则方程有两个不等的正根，

故可知函数在上单调递增，在上单调递减，

可得当时函数取得极小值，

所以实数的取值范围是.

（3）由（2）和函数为奇函数，当时有极小值，

可得，且，即，

代入，可得，

所以，

构造新函数，则，

当，则，所以当时，恒成立，

故函数在定义域上单调递减，其中，则，

可转化为，所以，

由，设，可得，

所以函数在上递增，故，

又由（2）可知，所以实数的取值范围是.