题目内容
【题目】在正四面体 ABCD 中,P,Q分别是棱 AB,CD的中点,E,F分别是直线AB,CD上的动点,M 是EF 的中点,则能使点 M 的轨迹是圆的条件是( )
A. PE+QF=2B. PEQF=2
C. PE=2QFD. PE2+QF2=2
【答案】D
【解析】
先由对称性找到PQ、EF的中点在中截面GHLK上运动,利用向量的加减运算,得到,结合正四面体的特征将等式平方得到4,由圆的定义得到结论.
如图:取BC、BD、AC、AD的中点为G、H、K、L,因为P、Q是定点,所以PQ的中点O为定点,由对称性可知,PQ、EF的中点在中截面GHLK上运动,
∵+=+,∴,
又在正四面体中,对棱垂直,∴PEQF,
∴,
∴4=
若点M的轨迹是以O为圆心的圆,则为定值,
只有D符合题意,故选D.
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