Question

13．实数x，y满足圆的标准方程（x+1）²+（y-2）²=4
（Ⅰ）求$\frac{y}{x-4}$的最小值；
（Ⅱ）求定点（1，0）到圆上点的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\frac{y}{x-4}$表示的意义是圆上的点到E（4，0）这个点的连线的斜率，作出图形结合数形结合法能求出$\frac{y}{x-4}$的最小值．
（Ⅱ）求出圆的参数方程，利用两点间距离公式和三角函数性质能求出定点（1，0）到圆上点（-1+2cosθ，2+2sinθ）的距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵实数x，y满足圆的标准方程（x+1）²+（y-2）²=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.，0≤θ＜2π$，
∴$\frac{y}{x-4}=\frac{2+2sinθ}{-5+2cosθ}$，
∴$\frac{y}{x-4}$表示的意义是圆上的点到E（4，0）这个点的连线的斜率，
那么看图可以知道圆上任何点和E的连线都落在BE和DE两条切线之间，
那么其中斜率最小的就是DE这条切线了，
设DE方程为y=k （ x-4），即kx-4k-y=0，
则O到DE的距离即等于半径，即$\frac{-k-4k-2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或k=-$\frac{20}{21}$，即其最小值为-$\frac{20}{21}$．
∴$\frac{y}{x-4}$的最小值为-$\frac{20}{21}$．
（Ⅱ）定点（1，0）到圆上点（-1+2cosθ，2+2sinθ）的距离：
d=$\sqrt{（-1+2cosθ-1）^{2}+（2+2sinθ）^{2}}$
=$\sqrt{4+4co{s}^{2}θ-8cosθ+4+4si{n}^{2}θ+8sinθ}$
=$\sqrt{12+8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$≤$\sqrt{12+8\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}+2$，
∴定点（1，0）到圆上点的最大值为2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，考查两点间距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想、圆的参数方程、两点间距离公式的合理运用．