题目内容
8.函数$f(x)=\frac{3x}{2x+3}$,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),n∈N*,(I)求证:数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列;
(II)令bn=an-1•an(n≥2),b1=3,sn=b1+b2+…+bn,若${S_n}<\frac{m-2003}{2}$对一切n∈N*成立,求最小正整数m.
分析 (I)先得到${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$,然后两边取倒数,即可证明$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列;
(II)在(I)的基础上,求出{an}的通项公式,从而得到bn=anan-1,然后再采用裂项求和的方法求和即可.再利用Sn的单调性求出Sn的最大值,让其最大值小于$\frac{m-2003}{2}$.解得求最小正整数m=2012.
解答 解:(Ⅰ)证明:∵函数$f(x)=\frac{3x}{2x+3}$,
∴an+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1,公差为$\frac{2}{3}$的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{3}$(n-1)=$\frac{2n+1}{3}$,
即an=$\frac{3}{2n+1}$,
当n≥2时,bn=an-1•an(n≥2)=$\frac{9}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{9}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
当n=1时,上式同样成立.
∴Sn=b1+b2+…+bn=$\frac{9}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{9}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$),
∴${S_n}<\frac{m-2003}{2}$对一切n∈N*成立,即$\frac{9}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)<$\frac{m-2003}{2}$对一切n∈N*成立,
又$\frac{9}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)随n递增,且$\frac{9}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)<$\frac{9}{2}$,
∴$\frac{9}{2}$≤$\frac{m-2003}{2}$,∴m≥2012,
∴m最小=2012.
点评 本题以函数为载体,考查构造法证明等差数列,考查裂项求和,考查恒成立问题,综合性强.