题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为
,过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦
与
.当直线
斜率为0时,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
【答案】(1),(2)
.
【解析】
试题分析:(1)求椭圆标准方程,只需两个独立条件. 一个是,另一个是点
在椭圆上即
,所以
.所以椭圆的方程为
.(2)研究直线与椭圆位置关系,关键确定参数,一般取直线的斜率,① 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知
,② 当两弦斜率均存在且不为0时,设直线
的方程为
,将直线
的方程代入椭圆方程中,并整理得
,所以
.同理,
.所以
,利用不等式或函数单调性可得
的取值范围是
综合①与②可知,
的取值范围是
.
【解】(1)由题意知,,
,
所以. 2分
因为点在椭圆上,即
,
所以.
所以椭圆的方程为. 6分
(2)① 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知; 7分
② 当两弦斜率均存在且不为0时,设,
,
且设直线的方程为
,
则直线的方程为
.
将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得
,
所以,
,
所以. 10分
同理,.
所以, 12分
令,则
,
,
,
设,
因为,所以
,
所以,
所以.
综合①与②可知,的取值范围是
. 16分
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