题目内容
【题目】已知椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， 
），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【答案】
（1）
解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， 
），P4（1， ）两点必在椭圆C上，
又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得：
，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程为 
=1．
（2）
证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴ 
= 
= 
=﹣1，
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 
，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，
，x1x2= 
，
则 
= 
= 
= 
= 
=﹣1，又b≠1，
∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，
当x=2时，y=﹣1，
∴l过定点（2，﹣1）．
【解析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
【考点精析】本题主要考查了斜截式方程和椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握直线的斜截式方程：已知直线
的斜率为
，且与
轴的交点为
则：
；椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能正确解答此题．
