题目内容

10.设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0)上任意一点,其坐标(x,y)均满足$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$,则$\sqrt{2}$a+b取值范围为[2,+∞).

分析 曲线a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0),对x,y分类讨论.画出图象:表示菱形ABCD.由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$,即$\sqrt{(x+1)^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}$$≤2\sqrt{2}$.设M(-1,0),N(1,0),可得:2|PM|≤2$\sqrt{2}$,
|BD|≤2$\sqrt{2}$,解出即可.

解答 解:曲线a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0),
当x,y≥0时,化为ax+by=1;当x≥0,y≤0时,化为ax-by=1;
当x≤0,y≥0时,化为-ax+by=1;当x≤0,y≤0时,
化为-ax-by=1.画出图象:表示菱形ABCD.
由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$,即$\sqrt{(x+1)^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}$$≤2\sqrt{2}$.
设M(-1,0),N(1,0),
则2|PM|≤2$\sqrt{2}$,|BD|≤2$\sqrt{2}$,
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{b}^{2}}}$$≤\sqrt{2}$,$\frac{2}{a}$$≤2\sqrt{2}$,
解得b≥1,$\sqrt{2}$a≥1,
∴$\sqrt{2}$a+b≥1+1=2.
∴$\sqrt{2}$a+b取值范围为[2,+∞).
故答案为:[2,+∞).

点评 本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式,考查了数形结合思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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