题目内容
【题目】如图1,在直角梯形中,
,
,
,将
沿
折起,使平面
平面
,得到几何体
,如图2所示,
(1)求证:平面
;
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由题中数量关系和勾股定理,得出AC⊥BC,再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可,△ADC是等腰Rt△,底边上的中线OD垂直底边,由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC,所以OD⊥BC,从而证得BC⊥平面ACD;
(2)由高和底面积,求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积.
(1)在图1中,△ADC是等腰Rt△,且
,可得
,
在中由余弦定理可得
从而,故
,
取中点
连结
,则
,又面
面
,
面面
,且
面
,从而
平面
,
∴,又
,
,∴
平面
.
(2) 由(1)可知为三棱锥
的高,
,得
,
所以,
由等体积性可知几何体的体积为
.
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