题目内容
【题目】数列{an}的前n项和为Sn，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3．
（1）求a1的值；
（2）求{an}的通项公式：
（3）设bn=
，求数列{bn}的前n项和．
【答案】（1）3（2）an=2n+1．（3）
【解答】解：（1）令n=1可得：a12+2a1=4a1+3，解得a1=3或a1=﹣1（舍）．
（2）∵an2+2an=4Sn+3，∴an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1+3（n≥2），
两式相减得：an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1）=4an，即（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），
∴an﹣an﹣1=2，
∴{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
（3）bn=
=
（
），
∴数列{bn}的前n项和（
+
+…+
）=
（
）=
．
【解析】
试题分析:（1）令n=1可解得a1的值；（2）利用和项与通项关系得递推关系式an﹣an﹣1=2，再根据等差数列定义及通项公式可得结论（3）因为
，所以利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和．
试题解析:解：（1）令n=1可得：a12+2a1=4a1+3，解得a1=3或a1=﹣1（舍）．
（2）∵an2+2an=4Sn+3，∴an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1+3（n≥2），
两式相减得：an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1）=4an，即（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），
∴an﹣an﹣1=2，
∴{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
（3）bn=
=
（
），
∴数列{bn}的前n项和（
+
+…+
）=
（
）=
．
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