题目内容
(本小题满分12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,
AB=,AF=1,M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;
(Ⅱ) 求二面角A-DF-B的大小.
(Ⅲ)试问:在线段AC上是否存在一点P,使得直线PF与AD所成角为60°?
AB=,AF=1,M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;
(Ⅱ) 求二面角A-DF-B的大小.
(Ⅲ)试问:在线段AC上是否存在一点P,使得直线PF与AD所成角为60°?
解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, 1分
∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,
∴四边形AOEM是平行四边形, 2分
∴AM∥OE.
∵平面BDE, 平面BDE, 4分
∴AM∥平面BDE.
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,
∵AB⊥AF, AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADF, 6分
∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂线定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。
在RtΔASB中,
∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º. 8分
(Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,
∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF,
∴PQ⊥QF. 9分
在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形,
∴ 10分
又∵ΔPAF为直角三角形,
∴,
∴
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点. 12分
方法二( 仿上给分)
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。
设,连接NE,
则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),
又点A、M的坐标分别是
()、(
∴NE∥AM.
又∵平面BDE, 平面BDE,
∴AM∥平面BDF.
(Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF
∴AB⊥平面ADF.
即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
(Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得
又∵PF和AD所成的角是60º.
∴
解得或(舍去),
即点P是AC的中点.
∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,
∴四边形AOEM是平行四边形, 2分
∴AM∥OE.
∵平面BDE, 平面BDE, 4分
∴AM∥平面BDE.
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,
∵AB⊥AF, AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADF, 6分
∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂线定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。
在RtΔASB中,
∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º. 8分
(Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,
∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF,
∴PQ⊥QF. 9分
在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形,
∴ 10分
又∵ΔPAF为直角三角形,
∴,
∴
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点. 12分
方法二( 仿上给分)
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。
设,连接NE,
则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),
又点A、M的坐标分别是
()、(
∴NE∥AM.
又∵平面BDE, 平面BDE,
∴AM∥平面BDF.
(Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF
∴AB⊥平面ADF.
即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
(Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得
又∵PF和AD所成的角是60º.
∴
解得或(舍去),
即点P是AC的中点.
略
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