题目内容

(本小题满分12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,
AB=,AF=1,M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;
(Ⅱ) 求二面角A-DF-B的大小.
(Ⅲ)试问:在线段AC上是否存在一点P,使得直线PF与AD所成角为60°?
解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,             1分
∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,
∴四边形AOEM是平行四边形,                     2分
∴AM∥OE.                                      
平面BDE, 平面BDE,            4分
∴AM∥平面BDE.                           
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,
∵AB⊥AF, AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADF,                              6分
∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂线定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。           
在RtΔASB中,
                   
∴二面角A—DF—B的大小为60º.                8分
(Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,
∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF,            
∴PQ⊥QF.                                    9分 
在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形,
                          10分
又∵ΔPAF为直角三角形,

                 
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点.                           12分
方法二( 仿上给分)
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。

,连接NE,
则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),

又点A、M的坐标分别是
)、(

∴NE∥AM.
又∵平面BDE, 平面BDE,
∴AM∥平面BDF.
(Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF
∴AB⊥平面ADF.

即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
(Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得

又∵PF和AD所成的角是60º.

解得(舍去),
即点P是AC的中点.
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