题目内容
(本小题满分14分)
如图,四边形为矩形,且,,为上的动点.
(1) 当为的中点时,求证:;
(2) 设,在线段上存在这样的点E,使得二面角的平面角大小为. 试确定点E的位置.
如图,四边形为矩形,且,,为上的动点.
(1) 当为的中点时,求证:;
(2) 设,在线段上存在这样的点E,使得二面角的平面角大小为. 试确定点E的位置.
方法一:(1) 证明:当为的中点时,,从而为等腰直角三角形,
则,同理可得,∴,于是,…2分
又,且,∴,
…………………4分
∴,又,∴. …………………………6分
(也可以利用三垂线定理证明,但必需指明三垂线定理)
(还可以分别算出PE,PD,DE三条边的长度,再利用勾股定理的逆定理得证,也给满分)
(2) 如图过作于,连,则,…7分
∴为二面角的平面角. ……………9分
设,则.
…………11分
于是 ……………………………13分
,有解之得。
点在线段BC上距B点的处. ………………………………14分
方法二、向量方法.以为原点,所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图. …………………………1分
(1)不妨设,则,
从而,………………………5分
于是,
所以所以 ………………………6分
(2)设,则,
则 .……………………………………10分
易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为,
则应有 即解之得,令则,,
从而,…………………………………………………………12分
依题意,即,
解之得(舍去),……………………………………13分
所以点在线段BC上距B点的处 .………………………………14分
略
练习册系列答案
相关题目