题目内容
【题目】已知函数.
(1)是否存在实数、
,使得函数
的定义域和值域都是
?若存在,请求出
,
的值;若不存在,请说明理由.
(2)若存在实数,
,使得函数
的定义域是
,值域是
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)不存在实数、
满足条件,(2)
.
【解析】
(1)不存在实数、
满足条件.
事实上,若存在实数、
,使得函数
的定义域和值域都是
,则有
.
故.
(i)当、
时,
在
上 减函数,所以,
,即
.
由此推得与已知矛盾.
故此时不存在实数、
满足条件.
(ii)当、
时,
在
上为增函数,所以,
,即
.
于是,、
是方程
的实根.
而此方程无实根.
故此时不存在实数、
满足条件.
(iii)当,
时,显然,
,而
,所以,
,矛盾.
故此时不存在实数、
满足条件.
综上可知,不存在实数、
满足条件.
(2)若存在实数、
,使得函数
的定义域是
,值域是
,易得
,
.
仿照(1)的解答可知,当、
或
,
时,满足条件的
、
不存在.
只有当、
时,
在
上为增函数,有
,即
.
于是,、
是方程
的两个大于1的实数根.
所以,,只须
.解得
.
因此,的取值范围是
.
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