题目内容
【题目】已知无穷数列的前
项中的最大项为
,最小项为
,设
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,求数列
的前
项和
;
(3)若数列是等差数列,求证:数列
是等差数列.
【答案】(1);(2)
,当
时,
;(3)证明见解析
【解析】
(1)利用数列的通项公式判断其增减性,从而确定
,
的表达式,进而求出数列
的通项公式;
(2)由计算
,
时,数列单调递减,所以当
时,
,利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案;
(3)设数列的公差为
,则
,讨论
,
三种情况,分别证明数列
为等差数列即可.
(1)由得
是递增数列,
所以,
所以.
(2)由得
,
当,
,即
;
当,
,即
.
又,
所以,当
时,
,
所以,
当时,令
,
则,即
.
所以
.
综上所述,,当
时,
.
(3)设数列的公差为
,
则,
由题意,
①,对任意
都成立,
即,所以
是递增数列.
所以,
所以,
所以数列是公差为
的等差数列;
②当时,
对任意
都成立,
进面,
所以是递减数列.
,
所以
所以数列是公差为
的等差数列;
③当时,
,
因为与
中至少有一个为0,
所以二者都为0,进而可得数列为常数列,
综上所述,数列为等差数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了了解一种新产品的销售情况,对该产品100天的销售数量做调查,统计数据如下图所示:
销售数量(件) | 48 | 49 | 52 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | |
天数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 |
经计算,上述样本的平均值,标准差
.
(Ⅰ)求表格中字母的值;
(Ⅱ)为评判该公司的销售水平,用频率近似估计概率,从上述100天的销售业绩中随机抽取1天,记当天的销售数量为,并根据以下不等式进行评判(
表示相应事件的概率);
①;②
;③
.
评判规则是:若同时满足上述三个不等式,则销售水平为优秀;仅满足其中两个,则等级为良好;若仅满足其中一个,则等级为合格;若全部不满足,则等级为不合格.试判断该公司的销售水平;
(Ⅲ)从上述100天的样本中随机抽取2个,记样本数据落在内的数量为
,求
的分布列和数学期望.