题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，椭圆
的四个顶点围成的四边形面积为
，圆
经过椭圆
的短轴端点．
求椭圆的方程；
过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于
，
和
，
四点，求四边形
面积的最小值．
【答案】
；
.
【解析】
根据题意求出
，因为圆
经过椭圆
的两个短轴端点，则
，所以
，列出椭圆的方程；
对直线
的斜率情况讨论，当斜率不存在或为
时，
四边形
，当直线的斜率存在时，
，
，利用二次函数的性质求出四边形面积的最小值.
解：根据题意，四个顶点围成的四边形为菱形，其面积为
，
，
因为圆经过椭圆的两个短轴端点，则，
所以，，
故椭圆的方程为．
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为
，
由
消去
得，
，
．
同理得，．
令
，则
．
当直线的斜率不存在时，
，
当直线的斜率为零时，
，
，
.
，
四边形面积的最小值为．
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【题目】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区100名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天） |
|
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人数 | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
50岁以上（含50岁） | 100 | ||
50岁以下 | 55 | ||
总计 | 200 |
附：
| 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 |
，其中
．
