题目内容
【题目】已知函数,
,
、
.
(1)若,且函数
的图象是函数
图象的一条切线,求实数
的值;
(2)若不等式对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若对任意实数,函数
在
上总有零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由得出
,由此得出
,设切点为
,由题意得出
,可求出
的值;
(2)由参变量分离法得出,构造函数
,利用导数分析得出
,由此可得出实数
的取值范围;
(3)根据题意,对函数求导可得
,对实数
分
和
两种情况讨论,分析函数
的单调性,结合零点存在定理可得出实数
的取值范围.
(1)由,得
,
,
设函数与函数
相切于点
,则
,
由题意可得,解得
,因此,
;
(2)由题意得,
恒成立.
令,
,则
,
再令,则
,令
,解得
.
故当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增,
从而,函数在
上有最小值
,
即有在
上恒成立,
所以,函数在
上单调递增,故
,所以
.
因此,实数的取值范围是
;
(3)由题意可得,其导数
.
①当时,
对任意的
恒成立,则函数
在
上为增函数,
若函数在
上总有零点,则有
,解得
;
②当时,令
,解得
.
当时,
;当
时,
.
所以,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
则函数在
处取得最小值,即
.
(i)当时,即当
时,对任意的
,
,
则函数在区间
上单调递增,
若函数在区间
上恒有零点,则
,解得
;
(ii)当时,即当
时,若
,则
;若
,则
.
则函数在
上单调递减,在
上单调递增.
,可得
.
构造函数,其中
,则
,
所以,函数在区间
上单调递减,则
,
.
综上所述,实数的取值范围是
.
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