题目内容

已知直角梯形PDCB中(如图1),PD=2,DC=BC=1,A为PD的中点,
将△PAB沿AB折起,使面PAB⊥面ABCD(如图2),点F在线段PD上,PF=2FD.
(1)求异面直线BP与CF所成角的余弦值;
(2)求二面角D-AC-F的余弦值;
(3)在四棱锥P-ABCD的棱PC上是否存在一点E,使得BE∥平面AFC,若存在,求出E点的位置,若不存在,请说明理由.
考点:二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)由已知得PA⊥AB,从而PA⊥面ABCD,以A为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线BP与CF所成角的余弦值.
(2)由已知,得
AP
=(0,0,1)
为平面ACD的法向量,求出平面AFC的法向量,利用向量法能求出二面角D-AC-F的余弦值.
(3)法一:连接BD,交AC于O,取PF中点G,连BG,EG,FO,由已知得EG∥FC,OF∥BG,从而得到BE∥平面AFC.
(3)法二:假设在四棱锥P-ABCD的棱PC上存在一点E,使得BE∥平面AFC,设CE=λCP,由
BE
=
BC
+
CE
,得
BE
=(-λ,1-λ,λ),由此利用向量法能推导出存在PC的中点E,使得BE∥平面AFC.
解答: (本小题满分14分)
解:(1)依题意知:PA⊥AB.
又∵面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,PA?面PAB,
∴PA⊥面ABCD.…(2分)
又∵AD⊥AB.∴以A为原点,建立如图所示的坐标系,…(3分)
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),P(0,0,1).…(4分)
由于
PF
=2
FD

AF
=
AP
+
2
3
PD
=(0,0,1)+(0,
2
3
,-
2
3
)=(0,
2
3
1
3
)

F(0,
2
3
1
3
)
.…(5分)
BP
=(-1,0,1)
CF
=(-1,-
1
3
1
3
)

cos<
BP
,  
CF
>=
BP
CF
|BP
|•|
CF
|
=
4
3
2
11
9
=
2
22
11
.…(6分)
(2)由已知,得
AP
=(0,0,1)
为平面ACD的法向量.…(7分)
设平面AFC的法向量为
n
=(x,y,z)

n
AC
=0
n
AF
=0
,即
x+y=0
2
3
y+
1
3
z=0
,…(8分)
令z=2,则x=1,y=-1,即
n
=(1,-1,2)
.…(9分)
二面角D-AC-F的平面角为θ,
cosθ=
n
AP
|
n
||
AP
|
=
2
6
=
6
3
.…(10分)
(3)方法一:存在PC的中点E,使得:BE∥平面AFC,
证明如下:
连接BD,交AC于O,取PF中点G,连BG,EG,FO.
在△PCF中,E,G分别为PC,PF中点,则EG∥FC.…(11分)
在△BDG中,O,F分别为BD,DG中点,则OF∥BG.…(12分)
所以平面BEG∥平面FAC.
又BE?平面BEG,
所以BE∥平面AFC.…(14分)
方法二:假设在四棱锥P-ABCD的棱PC上存在一点E,使得BE∥平面AFC,
不妨设:CE=λCP,…(11分)
BE
=
BC
+
CE
,得
BE
=(-λ,1-λ,λ).…(12分)
由(2)知平面AFC的法向量
n
=(1,-1,2)

BE
n
=0
λ=
1
2
.…(13分)
故存在PC的中点E,使得BE∥平面AFC.…(14分)
点评:本题考查异面直线BP与CF所成角的余弦值的求法,考查二面角D-AC-F的余弦值的求法,考查在四棱锥P-ABCD的棱PC上是否存在一点E,使得BE∥平面AFC的判断与证明,解题时要注意空间思维能力的培养.
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