题目内容
【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=4,CB=4,CC1=2,∠ACB=90°,点M在线段A1B1上.
(1)若A1M=3MB1,求异面直线AM和A1C所成角的余弦值;
(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°,试确定点M的位置.
【答案】(1);(2)线段A1B1的中点.
【解析】
试题分析:本题考查用空间向量法解决立体几何问题,最简单的方法是建立空间直角坐标系,如以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,写出各点坐标,(1)求得相应向量,异面直线AM和A1C所成角的余弦值就是cos〈,
〉的绝对值;(2)先求得平面ABC1的法向量为n,因为点M在线段A1B1上,可设M(x,4-x,2
),利用法向量n与向量
的夹角(锐角)与直线和平面所成的角互余可得,即由|cos〈n,
〉|=
可求得
,从而确定
的位置.
试题解析:方法一 (坐标法)
以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(4,0,0),A1(4,0,2),B1(0,4,2
).
(1)因为A1M=3MB1,所以M(1,3,2).
所以=(4,0,2
),
=(-3,3,2
).
所以cos〈,
〉=
=-
.
所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为.
(2)由A(4,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,2),
知=(-4,4,0),
=(-4,0,2
).
设平面ABC1的法向量为n=(a,b,c),
由得
令a=1,则b=1,c=,
所以平面ABC1的一个法向量为n=(1,1,).
因为点M在线段A1B1上,所以可设M(x,4-x,2),
所以=(x-4,4-x,2
).
因为直线AM与平面ABC1所成角为30°,
所以|cos〈n,〉|=sin 30°=
.
由|n|=|n||
||cos〈n,
〉|,得
|1 (x-4)+1
(4-x)+
2
|
=2,
解得x=2或x=6.
因为点M在线段A1B1上,所以x=2,
即点M(2,2,2)是线段A1B1的中点.
方法二 (选基底法)
由题意得CC1⊥CA,CA⊥CB,CC1⊥CB,取,
,
作为一组基底,
则有||=|
|=4,|
|=2
,
且=
=
=0.
(1)由=3
,则
=
=
=
-
,
∴=
+
=
+
-
,
且||=
=-
-
,且|
|=2
,
∴=4
∴cos〈,
〉=
=
.
即异面直线AM与A1C所成角的余弦值为.
(2)设A1M=λA1B1,则=
+λ
-λ
.
又=
-
,
=
-
,
设面ABC1的法向量为n=x+y
+z
,
则=8z-16x=0,
=16y-16x=0,
不妨取x=y=1,z=2,
则n=+
+2
且|n|=8,
||=
,
=16,
又AM与面ABC1所成的角为30°,则应有
=
=
,
得λ=,即M为A1B1的中点.
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