题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
，
，
．
（1）证明：点
在底面
上的射影
必在直线
上；
（2）若二面角
的大小为
，
，求
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）先证明
平面
，可得平面
平面，由面面垂直的性质定理可得点
在底面
上的射影
必在直线
上；（2）
是二面角
的平面角，
，在平面内过点作
，以
为
轴建系，求出
的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面
的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解：（1）因为
，
所以平面．
所以平面平面．
过点作
，则由面面垂直的性质定理可知
．
又
，所以
重合，
所以点在底面上的射影必在直线上．
（2）是二面角的平面角，．
法一：连接
，
．
平面
平面
平面
．
作
．
是直线与平面
所成角．
．
又
，
．
法二：在平面内过点作，以为轴建系．则
所以
由
可以求得平面的法向量
．
所以
．
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