题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
分别为
、
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)已知与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
解法1:(1)建立空间直角坐标系,利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直;
(2)设,利用
与平面
所成的角为
得到
的值,再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值,得到二面角的余弦值.
解法2:(1)取中点
,连接
、
,易证
平面
,再证明
,可得
平面
(2)设,利用
与平面
所成的角为
得到
的值,再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值,得到二面角的余弦值.
解法3:(1)同解法2
(2)设,利用三棱锥
等体积转化,得到
到面
的距离,利用
与平面
所成的角为
得到
与
的关系,解出
,在两个平面分别找出
垂直于交线,得到二面角,求出其余弦值.
解法1:
(1)以为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系
.
设,
,则
,
,
,
,
,
,
,
,
.
因为,
,
所以,
,
面
,
面
,
于是平面
.
(2)设平面的法向量
,
则,
,
又,
,
故,取
,得
.
因为与平面
所成的角为
,
,
所以,
,
解得,
.
由(1)知平面的法向量
,
,
所以二面角的余弦值为
.
解法2:
(1)取中点
,连接
、
,
,
平面
,
平面
,
而平面
,
平面
,
平面
.
为
中点,
,
,
,
,
四边形
为平行四边形,
.
平面
.
(2)以为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系
.
设,
,
,则
,
,
.
设平面的法向量
,
则,
,
又,
,
故,
取,得
.
因为与平面
所成的角为
,
,
所以,
,
解得,
.
由(1)知平面的法向量
,
所以二面角的余弦值为
.
解法3:
(1)同解法2.
(2)设,
,则
,
,
,
,
,
到平面
距离
,设
到面
距离为
,
由
得,即
.
因为与平面
所成的角为
,
所以,
而在直角三角形中
,
所以,
解得.
因为平面
,
平面
,所以
,
平面
,
平面
所以
,所以
平面
,
平面
,
平面
所以为二面角
的平面角,
而,可得四边形
是正方形,所以
,
所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,计算两个班学分的方差.得
______,并由此可判断成绩更稳定的班级是______班.