Question

已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。

Answer 1

（1）设抛物线的方程为，则消去得
                   ……………2
，………4
则
                                             …………6
（2）解法一、显然抛物线与直线无公共点，设点为抛物线上的任意一点，点P到直线的距离为，则       ……………7
                                 ……………10
当时，取得最小值，此时为所求的点         ……………12
解法二、显然抛物线与直线无公共点，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，切点为P，则点P即为所求点。……7
由消去并化简得：，             ……………9
∵直线与抛物线相切，∴，解得：    
把代入方程并解得：，∴
故所求点为。

略