Question

（本小题満分12分）
已知一条曲线上的每个点M到A（1,0）的距离减去它到y轴的距离差都是1．
（1）求曲线的方程;
（2）讨论直线y=kx+1（k∈R）与曲线的公共点个数

Answer 1

解：（1）设点M（x,y）是曲线上任意一点,则-|x|=1，
化简得:y²=2x+2|x|
所求曲线的方程．C₁：当x³0时， y²=4x；C₂：当x<0时，y=0．
（2）直线y=kx+1过定点（0,1），
y=kx+1，与y²=4x联列：ky²-4y+4="0," D=16-16k
当k=0时,直线与C₁有一个公共点,而与C₂没有公共点,共1个公共点;
当k=1时, D=0，直线与C₁和C₂各一个公共点,共2个公共点;
当0<k<1时，D>0,直线与C₁有2个公共点，和C₂一个交点,共3个公共点;
当k<0时，D>0,直线与C₁有两个公共点，和C₂没有公共点,共2个公共点;
当k>1时, D<0,直线与C₁没有公共点，和C₂有1个公共点,共1个公共点;
所以:当k=0,或k>1时,直线与曲线有1个公共点;
当k=1,或k<0时,直线与曲线有2个公共点;
当0<k<1时,直线与曲线有3个公共点．

略