题目内容
【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率
,点
分别为椭圆的左右焦点,过右焦点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆左焦点作直线
,交椭圆于
两点,若
,求直线
的倾斜角.
【答案】(1);(2)倾斜角是
或
.
【解析】
(1)设椭圆的标准方程为,利用已知条件及
,
,
的关系列出方程,进一可得出椭圆的方程;
(2)设直线的方程为
,点
,
,与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系,再利用数量积
进行分析计算,即可得出
,进而得到斜率和倾斜角.
(1)设椭圆方程为,
因为,所以
.据题意,点
在椭圆上,则
,
于是,
因为,
,则
,
.
故椭圆的方程为;
(2)由椭圆方程知,点,
,
若直线的斜率不存在,则直线
的方程为
,代入椭圆方程得
,
不妨设点,则
,
所以直线的斜率存在,
设直线的方程为
,点
,
.
由,得
,
所以,
,
于是
.
又,
,
,
由,得
,所以
.此时直线
与椭圆相交,
故直线的倾斜角是
或
.
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