题目内容
【题目】将所有平面向量组成的集合记作,
是从
到
的映射, 记作
或
, 其中
都是实数. 定义映射
的模为: 在
的条件下
的最大值, 记做
. 若存在非零向量
, 及实数
使得
, 则称
为
的一个特征值.
(Ⅰ)若, 求
;
(Ⅱ)如果, 计算
的特征值, 并求相应的
;
(Ⅲ)试找出一个映射, 满足以下两个条件: ①有唯一的特征值
, ②
. (不需证明)
【答案】(1)1(2) ,
,
,
(3)见解析.
【解析】
(1)由新定义可得=
,利用
=1,可得
≤1,从而可得结论;
(2)由特征值的定义可得:,由此可得f的特征值,及相应的
;
(3)解方程组,可得x1(a1﹣λ,b1)+x2(a2,﹣b1﹣λ)=0,从而可得a1,a2,b1,b2应满足的条件,当f(
)=λ
时,f有唯一的特征值,且||f||=|λ|,再进行证明即可.
(1)由于此时=
,
又因为是在=1的条件下,有
=
=
≤1(x2=±1时取最大值),
所以此时有||f||=1;
(2)由f(x1,x2)=(x1+x2,x1﹣x2)=λ(x1,x2),可得:,
解此方程组可得:(λ﹣1)(λ+1)=1,从而λ=±.
当λ=时,解方程组
,此时这两个方程是同一个方程,
所以此时方程有无穷多个解,为(写出一个即可),其中m∈R且m≠0.
当λ=﹣时,同理可得,相应的
(写出一个即可),其中m∈R且m≠0.
(3)解方程组,可得x1(a1﹣λ,b1)+x2(a2,﹣b1﹣λ)=0
从而向量(a1﹣λ,b1)与(a2,﹣b1﹣λ)平行,
从而有a1,a2,b1,b2应满足:.
当f()=λ
时,f有唯一的特征值,且||f||=|λ|.
具体证明为:
由f的定义可知:f(x1,x2)=λ(x1,x2),所以λ为特征值.
此时a1=λ,a2=0,b1=0,b2=λ满足:,所以有唯一的特征值.
在=1的条件下
=λ2,从而有||f||=|λ|.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P( | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.