Question

【题目】如图，已知离心率为 的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．

（1）求椭圆C的方程．
（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的方程为： + =1（a＞b＞0），

由题意得： ，

解得a2=8，b2=2，

∴椭圆方程为 ．

（2）证明：由直线l∥OM，设l：y= ，

将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m， ，

设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，

则 ， ，

∵k1+k2=

=1+m

=1+m =0，

故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

【解析】（1）先由椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）由直线l∥OM，设l：y= ，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1 ， k2 ， 欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k1+k2=0即可．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．