Question

【题目】已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2，

故函数的图像的对称轴为x=1，

可设函数f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．

根据f（﹣2）=9a+2=﹣16，求得a=﹣2，

故f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x

（2）解：当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，

故最大值为f（t）=﹣2t2+4t，

当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上是增函数，在[1，t+1]上是减函数，

故函数的最大值为f（1）=2．

综上，fmax（x）=

【解析】（1）由条件可得二次函数的图像的对称轴为x=1，可设函数f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．根据f（﹣2）=﹣16，求得a的值，可得f（x）的解析式．（2）分当t≥1时和当0＜t＜1时两种情况，分别利用函数f（x）的单调性，求得函数的最大值．