Question

【题目】已知函数f（x）= +a是奇函数
（1）求常数a的值
（2）判断f（x）的单调性并给出证明
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= +a是奇函数，可得f（x）+f（﹣x）=0

∴ +a+ +a=0，解得a= ，

（2）解：由（1）得f（x）= + 在（﹣∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下

任取x1＜x2则

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

当x1，x2∈（0，+∞）时，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ，＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0；

当x1，x2∈（﹣∞，0）时，2x1﹣1＜0，2x2﹣1＜0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0，

综上知，函数f（x）在（﹣∞，0）与（0，+∞）上都是减函数

（3）解：2x→0时，f（x）→﹣ ，2x小于1趋向于1时，f（x）→﹣∞，

2x→+∞时，f（x）→ ，2x大于1趋向于1时，f（x）→+∞，

∴函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．

【解析】（1）由奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，可解得a=，（2） 由于f（x）的单调性的定义，进行设值作差可得出f（x）在定义域上单调递减，（3）根据f（x）的解析式，取其极限不难讨论出f（x）的值域.
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．