[题目]考虑的方格表.其中每个方格内均填有数字0．每次操作可先选定三个实数...然后选定一行.将这一行每个方格中的数都加上(为该方格所在的列数.),或选定一列.将这一列每个方格中的数都加上(为该方格所在的行数.).问:能否经过有限次操作.使该方格表中四个角的数字变成1.而其他格的数字仍为0? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】考虑的方格表，其中每个方格内均填有数字0．每次操作可先选定三个实数、、，然后选定一行，将这一行每个方格中的数都加上（为该方格所在的列数，）；或选定一列，将这一列每个方格中的数都加上（为该方格所在的行数，），问：能否经过有限次操作，使该方格表中四个角的数字变成1，而其他格的数字仍为0？

【答案】见解析

【解析】

不能．

反证法．

假设能经过有限次操作使方格表变为四个角均为1，而其他所有方格的数字仍为0．

考虑方格表左上角的子方格表．

设经过有限次操作变换后，第行第列中的数为．

注意到，对任意二次函数都有

．

故任意操作均不改变的值，即为不变量．

又初始状态方格表中所有方格中的数均为0，则该不变量为0．

而所要求达到的形式为，且，

与该结论矛盾．

故假设不成立，即不能经过有限次操作使方格表中的数字变为要求的形式．

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