题目内容
【题目】某大型工厂有
台大型机器，在
个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为
．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得
万元的利润，否则将亏损
万元．该工厂每月需支付给每名维修工人
万元的工资．
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有
名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
（2）已知该厂现有
名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为
万元，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？
【答案】（1）
；（2）（ⅰ）
；（ⅱ）不应该.
【解析】
（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过
台的概率即可；
（2）（i）求出
的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；
（ⅱ）求出有
名维修工人时的工厂利润，得出结论．
解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．
∴该工厂正常运行的概率为：
．
（2）（i）的可能取值有
，
，
，
．
∴的分布列为：
X | 31 | 44 |
P |
|
|
∴ 
．
（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，
工厂所获利润为
万元，
因为
，
∴该厂不应该再招聘
名维修工人．
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