题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
;直线
的参数方程为
,(
为参数).直线
与曲线
分别交于
、
两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若点的直角坐标为
,
,求
的值.
【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为
,直线
的普通方程为
.(2)
【解析】
(1)由极坐标与普通方程互化,参数方程与普通方程互化直接求解即可;(2)将直线的参数方程
代入
,由韦达定理结合t的几何意义
即可求解
(1)由,得
,
所以曲线的直角坐标方程为
,即
,
由直线的参数方程得直线
的普通方程为
.
(2)将直线的参数方程
代入
,
化简并整理,得.
因为直线与曲线
分别交于
、
两点,所以
,
解得,由一元二次方程根与系数的关系,得
,
,
又因为,所以
.
因为点的直角坐标为
,且在直线
上,
所以,
解得,此时满足
,故
.
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