题目内容
【题目】(1)求经过点,且离心率为
的椭圆的标准方程;
(2)已知双曲线与椭圆
:
有相同的焦点,且过点
,求双曲线
的标准方程.
【答案】(1)或
.(2)
【解析】
(1)讨论焦点在在x轴上或焦点在y轴上.根据离心率、端点坐标,结合椭圆中,可求得椭圆的标准方程.
(2)根据椭圆的标准方程,可求得焦点坐标.代入点的坐标,结合,即可求得双曲线的标准方程.
(1)若椭圆的焦点在x轴上,设其方程为(
),
因为经过点,且离心率为
,所以
,
,
又,得
,
所以椭圆的标准方程为.
若椭圆的焦点在y轴上,设其方程为(
),
因为经过点,且离心率为
,所以
,
,又
,得
,
所以椭圆的标准方程为.
综上,椭圆的标准方程为或
.
(2)因为椭圆的焦点为
,
,且双曲线与椭圆有相同的焦点,
所以设双曲线的标准方程为(
,
),
得,又双曲线过点
,得
,
联立解得
所以双曲线的标准方程为.
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