题目内容
【题目】如图,在宽为的路边安装路灯,灯柱
高为
,灯杆
是半径为
的圆
的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩,灯罩顶
到路面的距离为
,到灯柱所在直线的距离为
.设
为灯罩轴线与路面的交点,圆心
在线段
上.
(1)当为何值时,点
恰好在路面中线上?
(2)记圆心在路面上的射影为
,且
在线段
上,求
的最大值.
【答案】(1)当为
时,点
在路面中线上;(2)
【解析】
(1)以O为原点,以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,求出PQ的方程,设C(a,b),根据CA=CP=r列方程组可得出a,b的值,从而求出r的值;
(2)用a表示出直线PQ的斜率,得出PQ的方程,求出Q的坐标,从而可得出|HQ|关于a的函数,根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值.
(1)以O为原点,以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,8),P(2,10),Q(7,0),
∴直线PQ的方程为2x+y﹣14=0.设C(a,b),则,
两式相减得:a+b﹣10=0,又2a+b﹣14=0,解得a=4,b=6,
∴.∴当
时,点Q恰好在路面中线上.
(2)由(1)知a+b﹣10=0,
当a=2时,灯罩轴线所在直线方程为x=2,此时HQ=0.
当a≠2时,灯罩轴线所在方程为:y﹣10=(x﹣2),
令y=0可得x=12﹣,即Q(12﹣
,0),
∵H在线段OQ上,∴12﹣≥a,解得2≤a≤10.
∴|HQ|=12﹣﹣a=12﹣(
+a)≤12﹣
=12﹣
,
当且仅当=a即a=
时取等号.∴|HQ|的最大值为(12﹣
)m.
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