Question

12．已知函数f（x）=mx²-x+lnx．
（1）当m=-1时，求f（x）的极大值；
（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；
（3）当$0＜m≤\frac{1}{2}$时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=-1时，求出函数的解析式，定义域，求出导函数，求出极值点，推出结果即可．
（2）（法一）$f'（x）=2mx-1+\frac{1}{x}=\frac{{2m{x^2}-x+1}}{x}$，通过当m≤0，当m＞0时，求解实数m的取值范围．
（法二）$f'（x）=2mx-1+\frac{1}{x}=\frac{{2m{x^2}-x+1}}{x}$，问题成立只需m＜u（x）_max（x∈（0，+∞）），然后求解实数m的取值范围．
（3）求出切线方程，转化mx²-x+lnx=2mx-m-1在（0，+∞）上有且只有一解．构造函数g（x）=mx²-x+lnx-（2mx-m-1），求出函数g（x）有零点x=1．通过求解导函数，讨论当$m=\frac{1}{2}$时，当$0＜m＜\frac{1}{2}$时，判断函数的单调性，利用函数的零点．推出m的范围．

解答 解：（1）当m=-1时，f（x）=mx²-x+lnx=-x²-x+lnx，其定义域（0，+∞）．
又$f'（x）=-2x-1+\frac{1}{x}=\frac{{-2{x^2}-x+1}}{x}=-\frac{x+1}{x}（\;2x-1\;）$．
∵$-\frac{x+1}{x}＜0$，故由f′（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$．…（1分）
∴当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；当$x＞\frac{1}{2}$，f′（x）＜0，f（x）递减．
因此当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）取得极大值$f（\;\frac{1}{2}\;）=-\frac{3}{4}-ln2$；…（2分）
（2）（法一）$f'（x）=2mx-1+\frac{1}{x}=\frac{{2m{x^2}-x+1}}{x}$，即2mx²-x+1＜0在（0，+∞）上有解．
当m≤0显然成立； …（4分）
当m＞0时，由于函数y=2mx²-x+1的图象的对称轴$x=\frac{1}{4m}＞0$，故须且
只须△＞0，即1-8m＞0，故$m＜\frac{1}{8}$．…（5分）
综上所述得$m＜\frac{1}{8}$，故实数m的取值范围为$（\;-∞\;，\;\frac{1}{8}\;）$；…（6分）
（若f'（x）≤0在（0，+∞）上有解，最后有检验也是可以的）
（法二）$f'（x）=2mx-1+\frac{1}{x}=\frac{{2m{x^2}-x+1}}{x}$，即2mx²-x+1＜0在（0，+∞）上有解．
即2mx²-x+1＜0在（0，+∞）能成立，
即$m＜\frac{x-1}{{2{x^2}}}$，设$u（x）=\frac{x-1}{{2{x^2}}}$，问题成立只需m＜u（x）_max（x∈（0，+∞））…（5分）
∵$u（x）=-\frac{1}{2}（{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}）+\frac{1}{8}≤\frac{1}{8}$，
∴$m＜\frac{1}{8}$故实数m的取值范围为$（\;-∞\;，\;\frac{1}{8}\;）$；…（6分）
（3）因为f（1）=m，f′（1）=2m，故切线方程为y-m+1=2m（x-1），即y=2mx-m-1，…（7分）
从而方程mx²-x+lnx=2mx-m-1在（0，+∞）上有且只有一解．
设g（x）=mx²-x+lnx-（2mx-m-1），则g（x）在（0，+∞）上
有且只有一个零点，又g（1）=0，故函数g（x）有零点x=1．…（8分）
则$g'（x）=2mx-1+\frac{1}{x}-\;2m=\frac{{2m{x^2}-（\;2m+1\;）x+1}}{x}=\frac{（\;2mx-1\;）（\;x-1\;）}{x}$．
当$m=\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+∞）上递增．
∴函数g（x）有且只有一个零点x=1，满足题意；…（9分）
当$0＜m＜\frac{1}{2}$时，由g′（x）=0，得$x=\frac{1}{2m}$，或x=1．且$\frac{1}{2m}＞1$
由g′（x）＞0，得0＜x＜1，或$x＞\frac{1}{2m}$；由g′（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{2m}$；
故当x在（0，+∞）上变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：（此表可省略）

x	（0，1）	1	$（\;1\;，\;\frac{1}{2m}\;）$	$\frac{1}{2m}$	$（\;\frac{1}{2m}\;，\;+∞\;）$
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

根据上表知$g（\;\frac{1}{2m}\;）＜0$． …（10分）
又$g（x）=mx[x-（\;2+\frac{1}{m}\;）]+m+lnx+1$．∴$g（\;2+\frac{1}{m}\;）＞0$，
故在$（\;\frac{1}{2m}\;，\;+∞\;）$上，函数g（x）又有一个零点，不符；…（11分）
综上所述得$m=\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查函数的对数的应用，函数的极值点以及单调性，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．