题目内容
2.已知点O为坐标原点,点M(2,1),点N(x,y)满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\\{x≤4}\end{array}\right.$,则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值为11.分析 可画出原不等式组所表示的平面区域,而可求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=2x+y$,可设2x+y=z,从而得到y=-2x+z,这样找出平面区域上的一点,使得直线y=-2x+z过该点时截距取到最大值,此时z便取到最大值.
解答 解:不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\\{x≤4}\end{array}\right.$表示的平面区域如下图阴影部分所示;
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=2x+y$;
解$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x=4}\end{array}\right.$得,$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$,即A(4,3);
设2x+y=z,∴y=-2x+z;
∴z为直线y=-2x+z在y轴上的截距,由图看出当该直线过点A时,截距最大,即z最大;
∴3=-8+z;
z=11;
∴z的最大值为11,即$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值为11.
故答案为:11.
点评 考查根据不等式可以找到该不等式所表示的平面区域,向量数量积的坐标运算,线性规划的方法求最值,直线的斜截式方程.
练习册系列答案
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10.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2},0≤x<a}\\{{2}^{x},x≥a}\end{array}\right.$,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A. | (0,2) | B. | (2,+∞) | C. | (2,4) | D. | (4,+∞) |
7.集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合是( )
A. | {x|x≥1} | B. | {x|1≤x<2} | C. | {x|0<x≤1} | D. | {x|x≤1} |